Beyond Pythagoras Essays

Beyond Pythagoras   Essays Beyond Pythagoras   Essay Beyond Pythagoras   Essay I have been asked to investigate Pythagorean triplets where the shortest side is an odd number and all the three sides are positive integers. A pythagorean triple is a set of integers (a,b,c) that specifies the lengths of a right angle triangle aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½=cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ in which a is the shortest side b is the middle side and c is the hypotenuse. The first set of triples (3,4,5) which has already been proved to satisfy Pythagorass theory. I have also been given two other pythagorean triples (5,12,13) and (7,24,25) I will now prove these to satisfy Pythagorass theory aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = 5à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =25 bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = 12à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =144 cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = 13à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =169 aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =25+144 =169 aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½=cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ so Pythagorass theory holds for (5,12,13) because they satisfy the condition of aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½=cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ in a right angled triangle. aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = 7à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =49 bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = 24à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =576 cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = 25à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =625 aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =49+576 =625 aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½=cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ so Pythagorass theory holds for (7,24,25) because they satisfy the condition of aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½=cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ in a right angled triangle. I am now going to put my results in to a table so that I can predict more values: a b c 3 4 5 5 12 13 7 24 25 I will now predict the next two values in the table so I can work out a general formula for this pythagorean family. By using the differencing method I can see that a has a difference of 2 between each pythagorean triplet I predict the next two a values to be 9 and 11 From the table I can also see that there is a quadratic sequence for the b value so I predict the next two values to be 40 and 60 Also from my table, I can see the c value is b+1 so my two next predictions Im going to prove are: a b c 9 40 41 11 60 61 aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = 9à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =81 bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = 40à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =1600 cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = 41à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =1681 aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =81+1600 =1681 aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½=cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ so Pythagorass theory holds for (9,40,41) because they satisfy the condition of aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½=cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ in a right angled triangle. aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = 11à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =121 bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = 60à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =3600 cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = 61à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =3721 aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =121+3600 =3721 aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½=cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ so Pythagorass theory holds for (11,60,61) because they satisfy the condition of aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½=cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ in a right angled triangle. My table now looks like this: a b c 3 4 5 5 12 13 7 24 25 9 40 41 11 60 61 When looking at the table I found a pattern so I am going to prove if it will work. 3à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =9 -4-5 (3,4,5) 5à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =25 -12-13 (5,12,13) 7à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =49 -24-25 (7,24,25) 9à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =81 -40-41 (9,40,41) 11à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =121 -60-61 (11,60,61) aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = b+c aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = b+b+1 aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ + 2b+1 Now to prove if it will work for Pythagoras aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = (b+1) à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½=2b+1 b+1à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = 2b + 1 aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½-1=b 2 Pythagoras theory is satisfied So now with 5 triplets that I have proved I will now find a general formula to find other pythagorean triplets in this family. By looking at the table its obvious that the formulae for a is a=2n+1 Im now going to find the general formulae for the b and c value. (b+1) à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = (2n+1)à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ + b bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+2b+1 = 4nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+4n+1+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+2b-bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = 4nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+4n+1-1 2b = 4nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+4n b = 2nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+2n c = 2nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+2n+1 I now have the formulae: a =2n+1 b = 2nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+2n c = 2nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+2n+1 I am now going to prove that these formulae work aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = (2n+1)à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ ) bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = (2nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+2n)à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ ) cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = (2nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+2n+1)à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = (2n+1) (2n+1) 4nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+2n+2n+1 4nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+4n+1 bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = (2nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+2n) (2nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+2n) 4n +4nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+4nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+4nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = 4n + 8nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+8nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+2n+1 cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = (2nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+2n+1) (2nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+2n+1) 4n + 4nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+2nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+ 4nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+4nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+2n+2nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+2n+1 4n + 8nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+8nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+2n+1 I will give an example of how to use the formulae for the 10th as the nth term: a =2n+1 =21 b = 2nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+2n = 220 c = 2nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+2n+1 = 221 the 10th pythagorean triple in this pythagorean family is (21,220,221) I am now going to investigate the 2nd pythagorean family. I will get this by doubling the values of the first family. (3,4,5) = (6,8,10) (5,12,13) = (10,24,26) (7,24,25) = (14,48,50) (9,40,41) = (18,80,82) (11,60,61) = (22,120,122) Using the internet for research I found out that there are in-between values so these are the pythagorean triples I have for this family now: (6,8,10) (8,15,17) (10,24,26) (12,35,37) (14,48,50) (16,63,65) (18,80,82) (20,99,101) (22,120,122) I will now prove that Pythagoras theorem holds for some of these pythagorean triplets. aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = 6à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =36 bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = 8à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =64 cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = 10à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =100 aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =36+64 =100 aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½=cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ so Pythagorass theory holds for (6,8,10) because they satisfy the condition of aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½=cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ in a right angled triangle. aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = 8à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =64 bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = 15à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =225 cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = 17à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =289 aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =64+225 =289 aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½=cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ so Pythagorass theory holds for (8,15,17) because they satisfy the condition of aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½=cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ in a right angled triangle. aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = 10à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =100 bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = 24à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =576 cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = 26à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =676 aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =100+576 =676 aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½=cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ so Pythagorass theory holds for (10,24,26) because they satisfy the condition of aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½=cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ in a right angled triangle. I am now going to find a general formula for the 2nd pythagorean family that I will name the b+2 family. From the values I have I know a = 2n+4 by using the differencing method I will now work out the b and c values. (b+2) à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = (2n+4)à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ + b bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+4b+1 = 4nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+16n+16+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+4b-bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = 4nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+16n+16-4 4b = 4nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+16n+12 b = nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+4n+3 c = nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+4n+5 I now have the formulae: a =2n+4 b = nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+4n+3 c = nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+4n+5 I am now going to prove that these formulae work aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = (2n+4)à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ ) bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = (nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+4n+3)à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ ) cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = (nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+4n+5)à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = (2n+4) (2n+4) 4nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+8n+8n+16 4nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+16n+16 bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = (nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+4n+3) (nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+4n+3) n +4nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+3nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+4nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+16nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+4n+12n+3nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+12n+9 n +8nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+22nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+24n+9 aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = n + 8nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+26nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+40n+25 cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = (nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+4n+5) (nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+4n+5) n + 4nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+5nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+ 4nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+16nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+20n+5nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+20n+25 n + 8nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+26nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+40n+25 I will give an example of how to use the formulae for the 10th as the nth term: a =2n+4 =24 b = nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+4n+3= 143 c = nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+4n+5= 145 the 10th pythagorean triple in this pythagorean family is (21,220,221) I am now going to investigate the 3rd pythagorean family. I will get this by tripling the values of the first family. (3,4,5) = (9,12,15) (5,12,13) = (15,36,39) (7,24,25) = (21,72,75) (9,40,41) = (27,120,123) (11,60,61) = (33,180,183) I will now prove that Pythagoras theorem holds for these pythagorean triplets. aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = 9à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =81 bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = 12à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =144 cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = 15à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =100 aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =81+144 =225 aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½=cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ so Pythagorass theory holds for (9,12,15) because they satisfy the condition of aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½=cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ in a right angled triangle. aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = 15à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =225 bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = 36à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =1296 cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = 39à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =1521 aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =225+1296 =1521 aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½=cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ so Pythagorass theory holds for (15,36,39) because they satisfy the condition of aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½=cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ in a right angled triangle. aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = 21à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =441 bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = 72à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =5184 cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = 35à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =5625 aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =441+5184 =5625 aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½=cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ so Pythagorass theory holds for (21,72,35) because they satisfy the condition of aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½=cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ in a right angled triangle. aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = 27à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =729 bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = 120à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =14,400 cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = 123à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =15,129 aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =729+14,400 =15,129 aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½=cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ so Pythagorass theory holds for (27,120,123) because they satisfy the condition of aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½=cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ in a right angled triangle. aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = 33à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =1089 bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = 180à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =32,400 cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = 183à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =33,489 aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ =441+5184 =5625 aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½=cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ so Pythagorass theory holds for (33,180,183) because they satisfy the condition of aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½=cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ in a right angled triangle. I am now going to find a general formula for the 3rd pythagorean family that I will name the b+3 family. From the values I have I have used the differencing method to find out that a = 6n+3 I will now work out the b and c values. (b+3) à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = (6n+3)à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ + b bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+6b+1 = 36nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+36n+9+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+6b-bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = 36nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+36n+9-9 6b = 36nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+36n b = 6nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+6n c = 6nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+6n+3 I now have the formulae: a = 6n+3 b = 6nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+6n c = 6nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+6n+3 I am now going to prove that these formulae work: aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = (6n+3)à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ ) bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = (6nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+6n)à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ ) cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = (6nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+6n+3)à ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = (6n+3) (6n+3) 36nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+18n+18n+9 36nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+36n+9 bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = (6nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+6n) (6nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+6n) 36n +36nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+36nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+36nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ 36n +72nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+36nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ aà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+bà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = 36n +72nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+72nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+36n+9 cà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½ = (6nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+6n+3) (6nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+6n+3) 36n + 36nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+18nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+36nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+36nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+18n+18nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+18n+9 36n + 72nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+82nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+36n+9 I will give an example of how to use the formulae for the 10th as the nth term: a = 6n+3 =63 b = 6nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+6n = 3660 c = 6nà ¯Ã‚ ¿Ã‚ ½+6n+3= 3663 the 10th pythagorean triple in this pythagorean family is (21,220,221)